#05 - Il principio fisico

È la geometria a determinare il funzionamento di un astrolabio. Infatti ciò che governa il suo funzionamento è la proiezione stereografica. Cos'è una proiezione stereografica? La proiezione stereografica è il metodo di rappresentazione grafica di un solido sopra un piano, e nel caso dell'astrolabio il solido è una sfera. Questa rappresentazione avviene con la proiezione dei punti sulla superficie della sfera da un punto N (indicato solitamente come polo Nord) su un piano, solitamente il piano equatoriale. 

La proiezione stereografica da un punto di vista matematico:

Fonte immagine: Wikipedia

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale R3 è l'insieme dei punti (x,y,z) tali che x2 + y2 + z2 = 1. Sia N=(0,0,1) il "polo nord", e sia M il resto della sfera. Il piano z=0 passa per l centro della sfera; l' "equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano. Per ogni punto P su M, esiste un'unica retta passante per N e P, e questa retta interseca il piano z=0 in un unico punto P1 . Si dice proiezione stereografica di P questo punto P1 nel piano. 

Esprimendo la proiezione stereografica in formule esplicite, le coordinate cartesiane (x,y,z) sulla sfera e (X,Y) sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle seguenti formule:

${\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}$